5) cosx cos3x − sinx sin3x = 1

Решим уравнение $$\cos x \cos 3x - \sin x \sin 3x = 1$$.

Используем формулу косинуса суммы: $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$.

Тогда уравнение принимает вид: $$\cos(x + 3x) = 1$$

$$\cos(4x) = 1$$

$$4x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb{Z}$$