Билет №16. 1. Определение окружности, центра, радиуса, хорды и диаметра. 2. Доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 3. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найти АС и АВ.

Билет №16

1. Определения:
   • Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки — центра.
   • Центр окружности — это точка, равноудаленная от всех точек окружности.
   • Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней.
   • Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки окружности.
   • Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.
2. Доказательство: Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Дано:

\( \triangle ABC \)

AB = BC (равнобедренный)

CH - высота, проведенная к основанию AB (CH \( \perp \) AB)

Доказать: CH - медиана (AH = HB) и CH - биссектриса (\( \angle ACH = \angle BCH \)).

Доказательство:

Рассмотрим \( \triangle ACH \) и \( \triangle BCH \).

1. AB = BC (по условию, т.к. \( \triangle ABC \) - равнобедренный).

2. CH - общая сторона.

3. \( \angle CHA = \angle CHB = 90^{\circ} \) (по условию, т.к. CH - высота).

Эти два треугольника являются прямоугольными, так как CH является катетом, а AC и BC - гипотенузами.

По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе (CH = CH, AC = BC), \( \triangle ACH = \triangle BCH \).

Из равенства этих треугольников следует, что:

AH = HB (следовательно, CH - медиана).

\( \angle ACH = \angle BCH \) (следовательно, CH - биссектриса).

Что и требовалось доказать.

3. Задача: В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найти АС и АВ.

Дано:

\( \triangle ABC \)

\( \angle C = 90^{\circ} \)

Внешний угол при вершине A = 120°

AC + AB = 18 см

Найти: AC, AB

Решение:

1. Найдем внутренний угол при вершине A:

\( \angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

2. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 60^{\circ} \). Следовательно, \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

3. По свойству прямоугольного треугольника, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет AC противолежит углу B=30°.

\( AC = \frac{1}{2} AB \)

4. По условию задачи, \( AC + AB = 18 \) см.

Подставим \( AC = \frac{1}{2} AB \) в это уравнение:

\( \frac{1}{2} AB + AB = 18 \)

\( \frac{3}{2} AB = 18 \)

\( AB = 18 \cdot \frac{2}{3} \)

\( AB = 12 \) см

5. Теперь найдем AC:

\( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см

Проверка: \( AC + AB = 6 + 12 = 18 \) см. Условие выполняется.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см.