Билет №15. 1. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Доказать свойство вертикальных углов. 3. Задача на тему «Расстояние от точки до прямой». В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найти расстояние от вершины С до прямой АВ.

Билет №15

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
• По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.
• По катету и гипотенузе: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.
• По катету и острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
• По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и один из острых углов одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и одному из острых углов другого, то такие треугольники равны.
2. Доказательство свойства вертикальных углов:

Пусть две прямые AB и CD пересекаются в точке O. Образуются вертикальные углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \), а также \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \).

Рассмотрим пару смежных углов \( \angle AOC \) и \( \angle AOD \). Их сумма равна 180°:

\( \angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ} \)

Теперь рассмотрим другую пару смежных углов \( \angle BOD \) и \( \angle AOD \). Их сумма также равна 180°:

\( \angle BOD + \angle AOD = 180^{\circ} \)

Из этих двух равенств следует, что:

\( \angle AOC + \angle AOD = \angle BOD + \angle AOD \)

Вычтем \( \angle AOD \) из обеих частей равенства:

\( \angle AOC = \angle BOD \)

Таким образом, вертикальные углы равны. Аналогично доказывается равенство углов \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \).

Что и требовалось доказать.

3. Задача: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найти расстояние от вершины С до прямой АВ.

Дано:

\( \triangle ABC \)

AB = BC (равнобедренный)

AC = 37 см

Внешний угол при вершине B = 60°

h - расстояние от C до AB (h = CK, где CK \( \perp \) AB)

Найти: CK

Решение:

1. Найдем внутренний угол при вершине B:

\( \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \)

2. Найдем углы при основании равнобедренного треугольника:

\( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \)

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACK, где K - точка на AB, CK \( \perp \) AB. В этом треугольнике \( \angle KAC = 30^{\circ} \).

Мы ищем катет CK, противолежащий углу \( \angle KAC = 30^{\circ} \). Но AC - это гипотенуза треугольника ABC, а не треугольника ACK. В треугольнике ACK гипотенузой будет AC.

В прямоугольном треугольнике ACK:

\( \angle KAC = 30^{\circ} \)

\( AC = 37 \) см (гипотенуза)

Катет CK, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы:

\( CK = \frac{1}{2} AC \)

\( CK = \frac{1}{2} \cdot 37 = 18,5 \) см

Ответ: Расстояние от вершины С до прямой АВ равно 18,5 см.