Билет №11. 1. Вертикальные углы (определение и свойства). 2. Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Доказать, что ОК равно OM.

Билет №11

1. Определение вертикальных углов: Углы, которые образуются при пересечении двух прямых и являются противоположными, называются вертикальными.
2. Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
3. Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу:

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁:

\( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \)

\( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \)

\( AB = A_1B_1 \) (гипотенузы равны)

\( \angle A = \angle A_1 \) (острые углы равны)

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \)

Доказательство:

Поскольку \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \), то \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A \) и \( \angle B_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A_1 \). Так как \( \angle A = \angle A_1 \), то \( \angle B = \angle B_1 \).

По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащему среднему отрезку), если бы сторона была прилежащей к этим углам, то треугольники были бы равны. Но у нас даны гипотенузы. Воспользуемся признаком по стороне и двум прилежащим углам:

\( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по стороне и двум прилежащим углам (AB = A₁B₁, \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \)).

4. Задача: Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Доказать, что ОК равно OM.

Дано:

Отрезки АВ и СЕ пересекаются в точке О.

АО = ОВ

СО = ОЕ

АК = ВМ

Доказать: ОК = ОМ

Доказательство:

Рассмотрим \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOE \).

АО = ОВ (по условию)

СО = ОЕ (по условию)

\( \angle AOC = \angle BOE \) (вертикальные углы)

Следовательно, \( \triangle AOC = \triangle BOE \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что:

АС = ВЕ

\( \angle CAO = \angle EBO \)

\( \angle ACO = \angle BEO \)

Теперь рассмотрим \( \triangle AKO \) и \( \triangle BMO \).

АК = ВМ (по условию)

\( \angle KAO = \angle MBO \) (так как \( \angle CAO = \angle EBO \) и К лежит на АС, М лежит на ВЕ).

\( \angle AKO \) и \( \angle BMO \) - мы не можем утверждать, что они равны.

Рассмотрим \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOE \). Мы знаем, что АО = ОВ, СО = ОЕ, \( \angle AOC = \angle BOE \). Значит \( \triangle AOC = \triangle BOE \). Отсюда АС = ВЕ.

Рассмотрим \( \triangle AOK \) и \( \triangle BOM \).

Ак = ВМ (по условию)

\( \angle KAO = \angle MBO \) (равны углы \( \angle CAB \) и \( \angle EBA \)).

\( \angle KAO = \angle BAC \) и \( \angle MBO = \angle ABE \).

Мы знаем, что \( \triangle AOC = \triangle BOE \). Следовательно \( \angle CAO = \angle EBO \) и \( \angle ACO = \angle BEO \).

Рассмотрим \( \triangle OAK \) и \( \triangle OBM \).

\( \angle OAK = \angle OBM \) (это \( \angle CAB \) и \( \angle EBA \) соответственно).

\( OA = OB \) (по условию).

\( AK = BM \) (по условию).

Следовательно \( \triangle OAK = \triangle OBM \) по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства этих треугольников следует, что ОК = ОМ.

Что и требовалось доказать.