A15: Внешний угол треугольника АВС при вершине С равен 100°, а биссектриса этого угла параллельна стороне АВ. Определите вид треугольника АВС.

Решение:

Внешний угол при вершине C равен 100°, значит, внутренний угол C равен:

\[ \angle C_{внутр} = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \]

Биссектриса угла C делит его пополам:

\[ \angle ACO = \angle BCO = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \]

Биссектриса CO параллельна стороне AB. Рассмотрим CO как секущую.

Угол ∠COA и угол ∠CAB являются накрест лежащими при параллельных прямых CO и AB и секущей AC. Следовательно, ∠COA = ∠CAB.

Угол ∠COB и угол ∠CBA являются накрест лежащими при параллельных прямых CO и AB и секущей BC. Следовательно, ∠COB = ∠CBA.

Однако, накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Значит ∠ACO и ∠CAB не могут быть равны (если AC - секущая). Правильно: если CO || AB, то ∠ACO и ∠CAB - односторонние или соответственные. Смотрим на рисунок. Линия CO (продолжение биссектрисы) параллельна AB.

Рассмотрим секущую AC. Угол ∠ACO и угол ∠BAC (или ∠A) являются накрест лежащими углами. Так как CO || AB, то ∠ACO = ∠BAC.

Но ∠ACO = 40°, значит ∠BAC = 40°.

Рассмотрим секущую BC. Угол ∠BCO и угол ∠ABC (или ∠B) являются накрест лежащими углами. Так как CO || AB, то ∠BCO = ∠ABC.

Но ∠BCO = 40°, значит ∠ABC = 40°.

Итак, в треугольнике ABC:

\[ \angle A = 40^{\circ} \]

\[ \angle B = 40^{\circ} \]

\[ \angle C = 80^{\circ} \]

Так как два угла треугольника равны (∠A = ∠B = 40°), то треугольник ABC является равнобедренным.

Вид треугольника: Равнобедренный.