A12: ДАВС - равнобедренный. Внешний угол при вершине В равен 110°. Найдите ∠С.

Решение:

Внешний угол при вершине B равен 110°, значит, смежный с ним внутренний угол B равен:

\[ \angle B = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \]

Треугольник ABC равнобедренный. В условии не указано, какой угол является углом при вершине. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Угол при вершине C.

Тогда углы при основании A и B равны:

\[ \angle A = \angle B = 70^{\circ} \]

Сумма углов треугольника:

\[ \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \]

Случай 2: Угол при вершине A.

Тогда углы при основании B и C равны:

\[ \angle B = \angle C = 70^{\circ} \]

Случай 3: Угол при вершине B (что противоречит условию, так как внешний угол при B = 110°).

Поскольку указано, что внешний угол при вершине B равен 110°, то внутренний угол B = 70°. Так как треугольник равнобедренный, то либо ∠A = ∠C = 70°, либо ∠A = ∠B = 70° (что мы уже рассмотрели), либо ∠B = ∠C = 70°.

Если ∠B = 70°, и треугольник равнобедренный, то либо ∠A = 70° (тогда ∠C = 40°), либо ∠C = 70° (тогда ∠A = 40°).

Однако, если внешний угол при вершине B равен 110°, то внутренний угол B = 70°. Если треугольник равнобедренный, то либо ∠A=∠C, либо ∠A=∠B, либо ∠B=∠C. Поскольку ∠B=70°, то если ∠A=∠B=70°, то ∠C=40°. Если ∠B=∠C=70°, то ∠A=40°. Если ∠A=∠C, и ∠B=70°, то ∠A=∠C=(180-70)/2=55°.

Условие гласит: "Внешний угол при вершине В равен 110°". Это значит, что внутренний угол B = 180° - 110° = 70°. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Либо A=C, либо A=B, либо B=C.

Если A=C, то B - угол при вершине. Но внешний угол дан при B. Значит B - угол при основании. Тогда либо A=B, либо C=B.

Если A=B=70°, то C = 180 - (70+70) = 40°.

Если C=B=70°, то A = 180 - (70+70) = 40°.

В условии сказано "равнобедренный", но не указано, какой угол является углом при вершине. Но внешний угол дан при вершине B. Это означает, что B - это угол при вершине. Тогда внутренний угол B = 180° - 110° = 70°. Если B - угол при вершине, то A = C.

Тогда ∠A + ∠C + ∠B = 180°

\[ \angle A + \angle A + 70^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 2\angle A = 110^{\circ} \]

\[ \angle A = 55^{\circ} \]

Значит, ∠C = 55°.

Ответ: ∠C = 55°.