4. a) ∫ cos² x dx

Ответ: a) ∫₀^(π/4) cos²(x) dx

Разбираемся:

Для решения этого интеграла, мы будем использовать формулу понижения степени для косинуса: cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2.

Шаг 1: Применим формулу понижения степени:

∫₀^(π/4) cos²(x) dx = ∫₀^(π/4) (1 + cos(2x)) / 2 dx

Шаг 2: Разделим интеграл на два интеграла:

∫₀^(π/4) (1 + cos(2x)) / 2 dx = 1/2 * ∫₀^(π/4) 1 dx + 1/2 * ∫₀^(π/4) cos(2x) dx

Шаг 3: Вычислим первый интеграл:

1/2 * ∫₀^(π/4) 1 dx = 1/2 * [x]₀^(π/4) = 1/2 * (π/4 - 0) = π/8

Шаг 4: Вычислим второй интеграл:

1/2 * ∫₀^(π/4) cos(2x) dx

Замена переменной: u = 2x, du = 2 dx, dx = du/2

1/2 * ∫ cos(u) * (du/2) = 1/4 * ∫ cos(u) du = 1/4 * [sin(u)]

Вернемся к переменной x:

1/4 * [sin(2x)]₀^(π/4) = 1/4 * (sin(π/2) - sin(0)) = 1/4 * (1 - 0) = 1/4

Шаг 5: Сложим результаты двух интегралов:

π/8 + 1/4 = (π + 2) / 8

Ответ: (π + 2) / 8

Ответ: a) ∫₀^(π/4) cos²(x) dx = (π + 2) / 8