4. b)∫(1+x/2)^8dx -1 2

Ответ: ∫₋₁² (1 + x/2)⁸ dx

Разбираемся:

Для решения этого интеграла, сделаем замену переменной.

Шаг 1: Замена переменной

Положим u = 1 + x/2. Тогда du = (1/2) dx, и dx = 2 du.

Шаг 2: Изменим пределы интегрирования

Когда x = -1, u = 1 + (-1)/2 = 1/2.

Когда x = 2, u = 1 + 2/2 = 2.

Шаг 3: Перепишем интеграл с новой переменной

∫₋₁² (1 + x/2)⁸ dx = ∫_(1/2)² u⁸ (2 du) = 2 ∫_(1/2)² u⁸ du

Шаг 4: Вычислим интеграл

2 ∫_(1/2)² u⁸ du = 2 [u⁹/9]_(1/2)² = 2/9 [u⁹]_(1/2)²

Шаг 5: Подставим пределы интегрирования

2/9 [2⁹ - (1/2)⁹] = 2/9 [512 - 1/512] = 2/9 [(512*512 - 1)/512] = 2/9 [262143/512] = 262143 / 2304

Шаг 6: Упростим результат

262143 / 2304 ≈ 113.77

Ответ: ∫₋₁² (1 + x/2)⁸ dx = 262143 / 2304 ≈ 113.77