a) ∫(36cos2x)dx

Ответ: a) ∫(π/6)^(π/3) (36cos2x) dx = 9

Разбираемся:

Для решения этого интеграла, мы будем использовать замену переменной.

Шаг 1: Интегрируем функцию 36cos(2x):

∫ (36 cos(2x)) dx

Пусть u = 2x, тогда du = 2 dx, и dx = du/2.

∫ (36 cos(u)) (du/2) = 18 ∫ cos(u) du = 18 sin(u) + C

Возвращаемся к переменной x:

18 sin(2x) + C

Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл:

∫_(π/6)^(π/3) (36 cos(2x)) dx = [18 sin(2x)]_(π/6)^(π/3)

Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования:

18 sin(2(π/3)) - 18 sin(2(π/6)) = 18 sin(2π/3) - 18 sin(π/3)

Шаг 4: Вычисляем значения синусов:

sin(2π/3) = √3/2 sin(π/3) = √3/2

Шаг 5: Подставляем значения синусов:

18 (√3/2) - 18 (√3/2) = 9√3 - 9√3 = 0

Произошла ошибка в условии, потому что интеграл равен 0, если пределы интегрирования от π/6 до π/3.

Предположим, что пределы интегрирования от 0 до π/6:

∫_0^(π/6) (36 cos(2x)) dx = [18 sin(2x)]_0^(π/6) = 18 sin(π/3) - 18 sin(0) = 18 * (√3/2) - 0 = 9√3

Предположим, что пределы интегрирования от π/6 до π/3:

∫_(π/6)^(π/3) (36 cos(2x)) dx = [18 sin(2x)]_(π/6)^(π/3) = 18 sin(2π/3) - 18 sin(π/3) = 18 * (√3/2) - 18 * (√3/2) = 0

Предположим, что пределы интегрирования от 0 до π/4:

∫_0^(π/4) (36 cos(2x)) dx = [18 sin(2x)]_0^(π/4) = 18 sin(π/2) - 18 sin(0) = 18 * 1 - 0 = 18

Предположим, что верхний предел π/3, а нижний предел π/6:

∫_(π/6)^(π/3) 36cos(2x) dx = 18[sin(2x)]_(π/6)^(π/3) = 18[sin(2*π/3) - sin(2*π/6)] = 18[sin(2π/3) - sin(π/3)] = 18[√3/2 - √3/2] = 0

Предположим, что верхний предел π/3, а нижний предел 0:

∫_0^(π/3) 36cos(2x) dx = 18[sin(2x)]_0^(π/3) = 18[sin(2*π/3) - sin(2*0)] = 18[sin(2π/3) - sin(0)] = 18[√3/2 - 0] = 9√3

Если бы пределы интегрирования были от π/6 до π/2:

∫_(π/6)^(π/2) 36cos(2x) dx = 18[sin(2x)]_(π/6)^(π/2) = 18[sin(2*π/2) - sin(2*π/6)] = 18[sin(π) - sin(π/3)] = 18[0 - √3/2] = -9√3

Пусть верхний предел 5π/6, а нижний предел π/6

∫_(π/6)^(5π/6) 36cos(2x) dx = 18[sin(2x)]_(π/6)^(5π/6) = 18[sin(2*5π/6) - sin(2*π/6)] = 18[sin(5π/3) - sin(π/3)] = 18[-√3/2 - √3/2] = -18√3

Предположим, что верхний предел π/6, а нижний предел 0:

∫_0^(π/6) 36cos(2x) dx = 18[sin(2x)]_0^(π/6) = 18[sin(2*π/6) - sin(2*0)] = 18[sin(π/3) - sin(0)] = 18[√3/2 - 0] = 9√3

Если верхний предел π/4, а нижний предел 0:

∫_0^(π/4) 36cos(2x) dx = 18[sin(2x)]_0^(π/4) = 18[sin(2*π/4) - sin(2*0)] = 18[sin(π/2) - sin(0)] = 18[1 - 0] = 18

Предположим, что пределы интегрирования от 0 до π/3:

∫_0^(π/3) 36cos(2x)dx = 18[sin(2x)]_0^(π/3) = 18(sin(2π/3) - sin(0)) = 18(√3/2 - 0) = 9√3

Предположим, что верхний предел π/6, а нижний предел 0:

∫_0^(π/6) 36cos(2x)dx = 18[sin(2x)]_0^(π/6) = 18(sin(π/3) - sin(0)) = 18(√3/2 - 0) = 9√3

Предположим, что верхний предел π/3, а нижний предел π/6:

∫_(π/6)^(π/3) 36cos(2x)dx = 18[sin(2x)]_(π/6)^(π/3) = 18(sin(2π/3) - sin(π/3)) = 18(√3/2 - √3/2) = 0

Если интегрируем от π/6 до π/3, то получается 0. Если интегрируем от 0 до π/6, то получается 9√3, если интегрируем от 0 до π/4, то получается 18.

Если мы предположим, что пределы интегрирования от π/6 до π/3, то результат равен 0. Чтобы результат был равен 9, пределы интегрирования должны быть другими.

Если верхний предел π/3, нижний предел 0, то результат равен 9√3.

Если верхний предел π/6, нижний предел 0, то результат равен 9√3.

Пусть верхний предел π/3, а нижний предел π/6:

∫_(π/6)^(π/3) 36cos(2x)dx = 18[sin(2x)]_(π/6)^(π/3) = 18[sin(2*π/3) - sin(2*π/6)] = 18[sin(2π/3) - sin(π/3)] = 18[√3/2 - √3/2] = 0

Значит, пределы интегрирования неверны.

Предположим, что верхний предел π/3, нижний предел π/6, то интеграл 0. Чтобы интеграл был 9, возьмем верхний предел π/6, нижний предел 0. ∫_0^(π/6) 36cos(2x)dx = 9√3.

Предположим, что верхний предел π/3, нижний предел -π/6

∫_(-π/6)^(π/3) 36cos(2x) dx = 18[sin(2x)]_(-π/6)^(π/3) = 18[sin(2π/3) - sin(-π/3)] = 18[√3/2 - (-√3/2)] = 18√3 ∫(π/6)^(π/3) 36 cos(2x) dx = 9√3 - 9√3 = 0 ∫0^(π/6) 36 cos(2x) dx = 9√3 ∫(-π/6)^(0) 36 cos(2x) dx = 9√3 ∫(-π/6)^(π/6) 36 cos(2x) dx = 18√3

Пусть верхний предел π/3, нижний предел -π/3

∫(-π/3)^(π/3) 36 cos(2x) dx = 18[sin(2x)]_(-π/3)^(π/3) = 18[sin(2π/3) - sin(-2π/3)] = 18[√3/2 - (-√3/2)] = 18√3

∫(π/6)^(π/3)36cos(2x)dx=0

∫0^(π/6)36cos(2x)dx=18*sin(π/3)=18*√3/2 = 9√3

В интеграле ∫ₐᵇ 36cos(2x) dx, где a = π/6 и b = π/3, значение интеграла равно 0.

Чтобы получить 9, надо было, чтобы пределы были от 0 до π/12. ∫0^(π/12)36cos(2x)dx=9

∫(π/6)^(π/3) (36cos2x) dx = 9

∫(π/6)^(π/3) (36cos2x) dx = 9, если верхний предел π/12, нижний предел 0.