9. Найдите наименьшее значение функции y = 5^(x^2 - 4x + 3) - 9

Решение:

Функция \( y = 5^{x^2 - 4x + 3} - 9 \) представляет собой показательную функцию \( 5^u \), где \( u = x^2 - 4x + 3 \), сдвинутую на 9 единиц вниз. Показательная функция \( 5^u \) является возрастающей, поэтому наименьшее значение всей функции будет достигаться тогда, когда наименьшее значение получит показатель степени \( u = x^2 - 4x + 3 \).

Рассмотрим параболу \( u(x) = x^2 - 4x + 3 \). Её ветви направлены вверх, поэтому она имеет наименьшее значение в вершине.

Найдем координату \( x \) вершины параболы по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} \):

\( x_v = -\frac{-4}{2
\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

Теперь найдем наименьшее значение показателя степени \( u \), подставив \( x = 2 \) в выражение \( x^2 - 4x + 3 \):

\( u_{min} = 2^2 - 4
\cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)

Наименьшее значение показателя степени равно -1.

Теперь найдем наименьшее значение всей функции \( y \), подставив \( u_{min} = -1 \) в выражение \( 5^u - 9 \):

\( y_{min} = 5^{-1} - 9 \)

\( y_{min} = \frac{1}{5} - 9 \)

\( y_{min} = 0.2 - 9 = -8.8 \)

Ответ: -8.8