8. Решите уравнение 4^x + 8 * 9^x = 9 * 6^x

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \)

\( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \)

\( 6^x = (2
\cdot 3)^x = 2^x
\cdot 3^x \)

Исходное уравнение:

\( (2^x)^2 + 8
\cdot (3^x)^2 = 9
\cdot 2^x
\cdot 3^x \)

Разделим обе части уравнения на \( (3^x)^2 \) (так как \( 3^x \) никогда не равно нулю):

\( \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{8
\cdot (3^x)^2}{(3^x)^2} = \frac{9
\cdot 2^x
\cdot 3^x}{(3^x)^2} \)

\( \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 + 8 = 9
\cdot \frac{2^x}{3^x} \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 8 = 9
\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \left(\frac{2}{3}\right)^x \). Так как \( \left(\frac{2}{3}\right)^x \) всегда больше нуля, то \( t > 0 \).

Уравнение примет вид:

\( t^2 + 8 = 9t \)

\( t^2 - 9t + 8 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\( D = (-9)^2 - 4
\cdot 1
\cdot 8 = 81 - 32 = 49 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \)

Найдем корни \( t \):

\( t_1 = \frac{9 + 7}{2
\cdot 1} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( t_2 = \frac{9 - 7}{2
\cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \)

Оба корня \( t_1 = 8 \) и \( t_2 = 1 \) удовлетворяют условию \( t > 0 \).

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \):

1) \( \left(\frac{2}{3}\right)^x = t_1 = 8 \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = 8 \)

Логарифмируем обе части по основанию \( \frac{2}{3} \):

\( x =
log_{\frac{2}{3}} 8 \)

2) \( \left(\frac{2}{3}\right)^x = t_2 = 1 \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^0 \)

\( x = 0 \)

Ответ: x = 0, x = log_2/3 8