9. Исследуйте функцию $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$ и постройте ее график.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Область определения: Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $$D(f) = (-∞, ∞)$$.
2. Точки пересечения с осями:
   • С осью OY: При $$x=0$$, $$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$$. Точка пересечения: $$(0, 2)$$.
   • С осью OX: Решаем уравнение $$x^3 - 3x^2 + 2 = 0$$. Методом подбора находим, что $$x=1$$ является корнем: $$1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$. Делим многочлен на $$(x-1)$$: $$(x^3 - 3x^2 + 2) : (x-1) = x^2 - 2x - 2$$. Корни уравнения $$x^2 - 2x - 2 = 0$$ находятся по формуле дискриминанта: $$x = rac{2 ± √{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = rac{2 ± √{4 + 8}}{2} = rac{2 ± √{12}}{2} = rac{2 ± 2√{3}}{2} = 1 ± √{3}$$. Таким образом, точки пересечения с осью OX: $$(1, 0)$$, $$(1+√{3}, 0)$$, $$(1-√{3}, 0)$$.
3. Монотонность и экстремумы:
   • Найдем производную: $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$.
   • Критические точки: $$3x^2 - 6x = 0 ⇒ 3x(x-2) = 0$$. Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.
   • Интервалы монотонности:
     • На $$(-∞, 0)$$: $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$$. Функция возрастает.
     • На $$(0, 2)$$: $$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$$. Функция убывает.
     • На $$(2, ∞)$$: $$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$$. Функция возрастает.
   • Экстремумы:
     • $$x=0$$: точка максимума. $$f(0) = 2$$. Точка максимума: $$(0, 2)$$.
     • $$x=2$$: точка минимума. $$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$$. Точка минимума: $$(2, -2)$$.
4. Выпуклость и вогнутость:
   • Найдем вторую производную: $$f''(x) = 6x - 6$$.
   • Точки перегиба: $$6x - 6 = 0 ⇒ x = 1$$.
   • Интервалы выпуклости/вогнутости:
     • На $$(-∞, 1)$$: $$f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$$. Функция выпукла вверх (вогнута).
     • На $$(1, ∞)$$: $$f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0$$. Функция выпукла вниз.
   • Точка перегиба: $$(1, 0)$$.
5. Асимптоты: Наклонных и вертикальных асимптот нет, так как функция является многочленом.
6. График:

Основные точки для построения графика: $$(-2, -26)$$, $$(-1, -10)$$, $$(0, 2)$$ (максимум), $$(1, 0)$$ (перегиб), $$(2, -2)$$ (минимум), $$(3, 8)$$, $$(4, 34)$$.