6. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции $$y = x^3-3x$$.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции: $$y' = rac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3$$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$3x^2 - 3 = 0 ⇒ 3x^2 = 3 ⇒ x^2 = 1 ⇒ x = ± 1$$.
3. Определим знаки производной на интервалах $$(-∞, -1)$$, $$(-1, 1)$$, $$(1, ∞)$$:
   • На $$(-∞, -1)$$: Возьмем $$x=-2$$. $$y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$$. Функция возрастает.
   • На $$(-1, 1)$$: Возьмем $$x=0$$. $$y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$$. Функция убывает.
   • На $$(1, ∞)$$: Возьмем $$x=2$$. $$y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$$. Функция возрастает.
4. Определим точки экстремума:
   • В точке $$x=-1$$ производная меняет знак с '+' на '-', следовательно, это точка максимума. $$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$$. Точка максимума: $$(-1, 2)$$.
   • В точке $$x=1$$ производная меняет знак с '-' на '+', следовательно, это точка минимума. $$y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$$. Точка минимума: $$(1, -2)$$.

Ответ:

• Промежутки возрастания: $$(-∞, -1] ext{ и } [1, ∞)$$.
• Промежутки убывания: $$[-1, 1]$$.
• Точки экстремума: максимум в $$(-1, 2)$$, минимум в $$(1, -2)$$.