9. АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу АВ. Центральный угол AOD также опирается на дугу AD.

Так как AC является диаметром, то угол ABC вписан в полуокружность и равен 90°.

В треугольнике ABC: \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ} \).

Угол BAC — вписанный, опирающийся на дугу BC. Следовательно, дуга BC = \( 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \).

Так как BD — диаметр, то дуга BC + дуга CD = 180°.

Дуга CD = \( 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).

Угол CAD — вписанный, опирающийся на дугу CD. \( \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 108^{\circ} = 54^{\circ} \).

Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Дуга AD = Дуга CD + Дуга AC (если AC и BD пересекаются в центре O, то AC и BD являются диаметрами).

Угол AOD и угол BOC — вертикальные углы, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \).

Угол ACB = 54°, опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = \( 2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ} \).

Угол AOD — центральный угол. Дуга AD = \( 360^{\circ} - \text{дуга AB} - \text{дуга BC} - \text{дуга CD} \).

Угол AOD является смежным с углом AOC, который является развернутым углом (180°).

Угол AOD опирается на дугу AD. Дуга AB = 108°.

Угол BOC = Угол AOD (вертикальные).

Угол ABC = 90°, опирается на полуокружность AC.

\( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ} \).

Угол BAC опирается на дугу BC. \( \text{Дуга BC} = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \).

\( \angle AOD = \text{Дуга AD} \)

\( \text{Дуга AD} = 360^{\circ} - \text{Дуга AB} - \text{Дуга BC} - \text{Дуга CD} \).

Так как AC и BD — диаметры, то дуги AB и CD равны, а дуги BC и AD равны.

\( \text{Дуга AB} = 108^{\circ} \). \( \text{Дуга BC} = 72^{\circ} \).

\( \text{Дуга AD} = \text{Дуга BC} = 72^{\circ} \).

\( \angle AOD = \text{Дуга AD} = 72^{\circ} \).

Ответ: 72°.