10. АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 78°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу АВ. Центральный угол AOD также опирается на дугу AD.

Так как AC является диаметром, то угол ABC вписан в полуокружность и равен 90°.

В треугольнике ABC: \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 78^{\circ} = 12^{\circ} \).

Угол BAC — вписанный, опирающийся на дугу BC. Следовательно, дуга BC = \( 2 \cdot 12^{\circ} = 24^{\circ} \).

Так как AC и BD — диаметры, то дуги BC и AD равны.

\( \text{Дуга AD} = \text{Дуга BC} = 24^{\circ} \).

Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD.

\( \angle AOD = \text{Дуга AD} = 24^{\circ} \).

Ответ: 24°.