9. (3 балла) Решите уравнение \(\frac{2 \sin^2x}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 0 \). Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\(\frac{\pi}{2}\); \(3\pi\)].

Решение:

Преобразуем данное уравнение: \(\frac{2 \sin^2x}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 0 \).

Используем тригонометрическое тождество \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x) \).

Подставим его в уравнение:

\(\frac{2 \sin^2x}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} \sin(x) = 0 \).

Вынесем \( \sin(x) \) за скобки:

\(\sin(x) \left(\frac{2 \sin(x)}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}\right) = 0 \).

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: \( \sin(x) = 0 \).

Корни этого уравнения: \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \(\frac{2 \sin(x)}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = 0 \).

\(\frac{2 \sin(x)}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \)

\( 2 \sin(x) = 3 \)

\( \sin(x) = \frac{3}{2} \).

Уравнение \( \sin(x) = \frac{3}{2} \) не имеет решений, так как \( \sin(x) \) может принимать значения только в промежутке \([-1; 1]\).

Итак, решениями исходного уравнения являются \( x = \pi k \).

Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \([\frac{\pi}{2}; 3\pi]\).

Подставим различные целые значения \( k \):

• При \( k = 0 \): \( x = \pi \cdot 0 = 0 \). Это значение не принадлежит отрезку \([\frac{\pi}{2}; 3\pi]\).
• При \( k = 1 \): \( x = \pi \cdot 1 = \pi \). Это значение принадлежит отрезку \([\frac{\pi}{2}; 3\pi]\), так как \(\frac{\pi}{2} \leq \pi \leq 3\pi\).
• При \( k = 2 \): \( x = \pi \cdot 2 = 2\pi \). Это значение принадлежит отрезку \([\frac{\pi}{2}; 3\pi]\), так как \(\frac{\pi}{2} \leq 2\pi \leq 3\pi\).
• При \( k = 3 \): \( x = \pi \cdot 3 = 3\pi \). Это значение принадлежит отрезку \([\frac{\pi}{2}; 3\pi]\), так как \(\frac{\pi}{2} \leq 3\pi \leq 3\pi\).
• При \( k = 4 \): \( x = \pi \cdot 4 = 4\pi \). Это значение не принадлежит отрезку \([\frac{\pi}{2}; 3\pi]\).

Таким образом, корни, принадлежащие указанному отрезку, это \( \pi, 2\pi, 3\pi \).

Ответ: \( x = \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \); на отрезке [\(\frac{\pi}{2}\); \(3\pi\)] корни: \( \pi, 2\pi, 3\pi \).