7. (2 балла) Решите неравенство $$\frac{2x^2-5x}{x-3} \leq x$$

Решение:

Перенесём \( x \) в левую часть неравенства, чтобы получить ноль в правой части:

\(\frac{2x^2-5x}{x-3} - x \leq 0\)

Приведём дроби к общему знаменателю:

\(\frac{2x^2-5x - x(x-3)}{x-3} \leq 0\)

Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{2x^2-5x - x^2+3x}{x-3} \leq 0\)

Упростим числитель:

\(\frac{x^2-2x}{x-3} \leq 0\)

Разложим числитель на множители:

\(\frac{x(x-2)}{x-3} \leq 0\)

Теперь определим знаки интервалов с помощью метода интервалов. Корни числителя: \( x=0 \) и \( x=2 \). Корень знаменателя: \( x=3 \).

Разобьём числовую ось на интервалы:

• \((-\infty, 0]\)
• \([0, 2]\)
• \([2, 3)\)
• \((3, +\infty)\)

Проверим знаки выражения \(\frac{x(x-2)}{x-3}\) на каждом интервале:

• Интервал \((-\infty, 0)\): Возьмём \( x = -1 \). \(\frac{(-1)(-1-2)}{-1-3} = \frac{(-1)(-3)}{-4} = \frac{3}{-4} < 0\).
• Интервал \((0, 2)\): Возьмём \( x = 1 \). \(\frac{(1)(1-2)}{1-3} = \frac{(1)(-1)}{-2} = \frac{-1}{-2} > 0\).
• Интервал \((2, 3)\): Возьмём \( x = 2.5 \). \(\frac{(2.5)(2.5-2)}{2.5-3} = \frac{(2.5)(0.5)}{-0.5} < 0\).
• Интервал \((3, +\infty)\): Возьмём \( x = 4 \). \(\frac{(4)(4-2)}{4-3} = \frac{(4)(2)}{1} = 8 > 0\).

Неравенство \(\frac{x(x-2)}{x-3} \leq 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, 0]\) и \([2, 3)\). Обратите внимание, что \( x=0 \) и \( x=2 \) включаются в решение, так как неравенство нестрогое, а \( x=3 \) не включается, так как на знаменателе делить нельзя.

Ответ: \( x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3) \)