8. (2 балла) Решите уравнение (2x - 3)√3x² - 5x - 2=0

Решение:

Уравнение \( (2x - 3)\sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0 \) распадается на два случая:

1. \( 2x - 3 = 0 \)

\[ 2x = 3 \]

\[ x = \frac{3}{2} \]

2. \( \sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0 \)

\[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \]

\[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Теперь необходимо проверить, что подкоренное выражение \( 3x^2 - 5x - 2 \) неотрицательно для найденных корней, и что \( 2x-3 \) не обращает подкоренное выражение в нуль, когда \( x = 3/2 \).

Проверим \( x = \frac{3}{2} \):

\[ 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{3}{2}\right) - 2 = 3\left(\frac{9}{4}\right) - \frac{15}{2} - 2 = \frac{27}{4} - \frac{30}{4} - \frac{8}{4} = \frac{27-30-8}{4} = \frac{-11}{4} \]

Так как подкоренное выражение отрицательно, \( x = \frac{3}{2} \) не является корнем.

Проверим \( x = 2 \) и \( x = -\frac{1}{3} \). Они уже были найдены как корни \( 3x^2 - 5x - 2 = 0 \), поэтому подкоренное выражение равно 0, и эти значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: x = 2; x = -1/3.