9. (3 балла) Решите уравнение \(\frac{2 \sin^2x - \sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{2} = 0 \). Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\(\frac{\pi}{2}\); 3\(\pi\)].

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Уравнение \( \frac{2 \sin^2x - \sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{2} = 0 \) равносильно уравнению \( 2 \sin^2x - \sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}-x) = 0 \).

Используем тригонометрическое тождество \( \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x \).

Тогда уравнение примет вид:

\( 2 \sin^2x - \sqrt{3}\sin x = 0 \)

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0 \)

Это уравнение распадается на два случая:

\( \sin x = 0 \)
\( 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow 2\sin x = \sqrt{3} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решим эти уравнения:

Общее решение: \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Общее решение: \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) или \( x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [\(\frac{\pi}{2}\); 3\(\pi\)].

Для \( x = \pi k \):

\( k=1 \): \( x = \pi \) (принадлежит отрезку)
\( k=2 \): \( x = 2\pi \) (принадлежит отрезку)
\( k=3 \): \( x = 3\pi \) (не принадлежит отрезку, так как отрезок открытый справа)

Для \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

\( n=0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку, т.к. \( \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \))
\( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi + 6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \) (принадлежит отрезку, так как \( \frac{\pi}{2} = \frac{1.5\pi}{3} \) и \( \frac{7\pi}{3} < 3\pi = \frac{9\pi}{3} \))

Для \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):

\( n=0 \): \( x = \frac{2\pi}{3} \) (принадлежит отрезку, так как \( \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} \) и \( \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} \), \( \frac{4\pi}{6} < 3\pi \))
\( n=1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi + 6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \) (принадлежит отрезку, так как \( \frac{8\pi}{3} < 3\pi \))

Ответ: \( \pi, 2\pi, \frac{7\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} \)