7. (2 балла) Решите неравенство \(\frac{2x^2-5x}{x-3} \le x\)

Решение:

Перенесём \( x \) в левую часть неравенства:

\[ \frac{2x^2-5x}{x-3} - x \le 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{2x^2-5x - x(x-3)}{x-3} \le 0 \]

\[ \frac{2x^2-5x - x^2+3x}{x-3} \le 0 \]

\[ \frac{x^2-2x}{x-3} \le 0 \]

\[ \frac{x(x-2)}{x-3} \le 0 \]

Теперь найдём корни числителя и знаменателя:

• \( x = 0 \)
• \( x = 2 \)
• \( x = 3 \)

Нанесём эти точки на числовую прямую и определим знаки выражения на интервалах:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty; 0] & [0; 2] & [2; 3) & (3;+\infty) \\ \hline \text{Знак } \frac{x(x-2)}{x-3} & - & + & - & + \\ \hline \end{array} \]

Нам нужны значения, где выражение \( \le 0 \). Это интервалы \( (-\infty; 0] \) и \( [2; 3) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; 0] \cup [2; 3) \).