9. (3 балла) Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у=1-2х и графиком функции у=х²-5х-3

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя графиками функций, нужно:

1. Найти точки пересечения этих функций.
2. Вычислить определенный интеграл разности функций между точками пересечения.

Приравняем уравнения функций, чтобы найти точки пересечения:

1 - 2x = x² - 5x - 3

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

x² - 5x + 2x - 3 - 1 = 0

x² - 3x - 4 = 0

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.

Найдем корни:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (3 + √25) / (2 * 1) = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4.

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (3 - √25) / (2 * 1) = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1.

Точки пересечения по оси x — это -1 и 4.

Теперь определим, какая функция находится выше на интервале [-1, 4]. Возьмем тестовую точку, например, x = 0.

Для прямой y = 1 - 2x: y(0) = 1 - 2*0 = 1.

Для параболы y = x² - 5x - 3: y(0) = 0² - 5*0 - 3 = -3.

На интервале [-1, 4] прямая y = 1 - 2x находится выше параболы y = x² - 5x - 3.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций:

S = ∫⁴₋₁ ((1 - 2x) - (x² - 5x - 3)) dx

S = ∫⁴₋₁ (1 - 2x - x² + 5x + 3) dx

S = ∫⁴₋₁ (-x² + 3x + 4) dx

Найдем первообразную для -x² + 3x + 4:

F(x) = ∫ (-x² + 3x + 4) dx = -x³/3 + 3*(x²/2) + 4x.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

S = F(4) - F(-1)

F(4) = -(4)³/3 + 3*(4)²/2 + 4*4 = -64/3 + 3*16/2 + 16 = -64/3 + 3*8 + 16 = -64/3 + 24 + 16 = -64/3 + 40 = -64/3 + 120/3 = 56/3.

F(-1) = -(-1)³/3 + 3*(-1)²/2 + 4*(-1) = -(-1)/3 + 3*1/2 - 4 = 1/3 + 3/2 - 4.

Приведем к общему знаменателю (6):

F(-1) = 2/6 + 9/6 - 24/6 = (2 + 9 - 24) / 6 = -13/6.

S = F(4) - F(-1) = 56/3 - (-13/6) = 56/3 + 13/6.

Приведем к общему знаменателю (6):

S = (56 * 2) / 6 + 13/6 = 112/6 + 13/6 = (112 + 13) / 6 = 125/6.

Ответ: 125/6