7. (2 балла) Вычислить интеграл: в) ∫¹₀ x(1 − x)(1 + x)dx.

Сначала упростим подынтегральную функцию:

x(1 - x)(1 + x) = x(1 - x²) = x - x³.

Теперь найдем первообразную для функции f(x) = x - x³.

F(x) = ∫ (x - x³) dx = x²/2 - x⁴/4.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

∫¹₀ (x - x³) dx = F(1) - F(0)

F(1) = 1²/2 - 1⁴/4 = 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4.

F(0) = 0²/2 - 0⁴/4 = 0 - 0 = 0.

F(1) - F(0) = 1/4 - 0 = 1/4.

Ответ: 1/4