875. Найти значения х, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно.

Решение:

1) \( f(x) = 2x^3 - x^2 \)

• \( f'(x) = 6x^2 - 2x \)
• \( f'(x) = 0 \implies 6x^2 - 2x = 0 \implies 2x(3x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = \frac{1}{3} \)
• \( f'(x) > 0 \implies 2x(3x - 1) > 0 \implies x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, \infty) \)
• \( f'(x) < 0 \implies 2x(3x - 1) < 0 \implies x \in (0, \frac{1}{3}) \)

2) \( f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4 \)

• \( f'(x) = -9x^2 + 4x \)
• \( f'(x) = 0 \implies -9x^2 + 4x = 0 \implies x(-9x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = \frac{4}{9} \)
• \( f'(x) > 0 \implies x(-9x + 4) > 0 \implies x \in (0, \frac{4}{9}) \)
• \( f'(x) < 0 \implies x(-9x + 4) < 0 \implies x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{4}{9}, \infty) \)

3) \( f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x \)

• \( f'(x) = 5x^4 - 15x^2 - 20 \)
• \( f'(x) = 0 \implies 5x^4 - 15x^2 - 20 = 0 \implies x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \)
• Пусть \( y = x^2 \): \( y^2 - 3y - 4 = 0 \implies (y-4)(y+1) = 0 \). \( y = 4 \) или \( y = -1 \).
• \( x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \). \( x^2 = -1 \) — решений нет.
• \( f'(x) > 0 \implies 5(x^2-4)(x^2+1) > 0 \implies x^2-4 > 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \)
• \( f'(x) < 0 \implies x \in (-2, 2) \)

4) \( f(x) = (x + 3)^3 (x - 4)^2 \)

• \( f'(x) = 3(x+3)^2 (x-4)^2 + (x+3)^3 2(x-4) \)
• \( f'(x) = (x+3)^2 (x-4) [3(x-4) + 2(x+3)] \)
• \( f'(x) = (x+3)^2 (x-4) [3x - 12 + 2x + 6] = (x+3)^2 (x-4) (5x - 6) \)
• \( f'(x) = 0 \implies x = -3 \text{ (кратности 2)}, x = 4, x = \frac{6}{5} \)
• \( f'(x) > 0 \implies (x-4)(5x-6) > 0 \implies x \in (-\infty, \frac{6}{5}) \cup (4, \infty) \) (учитывая \( (x+3)^2 \ge 0 \) и \( x \ne -3 \))
• \( f'(x) < 0 \implies x \in (\frac{6}{5}, 4) \)

5) \( f(x) = \frac{3x+1}{x-2} \)

• \( f'(x) = \frac{3(x-2) - (3x+1)}{(x-2)^2} = \frac{3x-6-3x-1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2} \)
• \( f'(x) = 0 \) — решений нет.
• \( f'(x) < 0 \) для всех \( x \ne 2 \).

6) \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x} \)

• \( f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2} \)
• \( f'(x) = 0 \implies 2x - \frac{2}{x^2} = 0 \implies 2x^3 - 2 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1 \)
• \( f'(x) > 0 \implies 2x^3 - 2 > 0 \implies x^3 > 1 \implies x > 1 \)
• \( f'(x) < 0 \implies x < 1 \) (и \( x \ne 0 \))

Ответ: 1) Нулю: \( x=0, x=\frac{1}{3} \); Положительно: \( x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, \infty) \); Отрицательно: \( x \in (0, \frac{1}{3}) \). 2) Нулю: \( x=0, x=\frac{4}{9} \); Положительно: \( x \in (0, \frac{4}{9}) \); Отрицательно: \( x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{4}{9}, \infty) \). 3) Нулю: \( x=\pm 2 \); Положительно: \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \); Отрицательно: \( x \in (-2, 2) \). 4) Нулю: \( x=-3, x=4, x=\frac{6}{5} \); Положительно: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, \frac{6}{5}) \cup (4, \infty) \); Отрицательно: \( x \in (\frac{6}{5}, 4) \). 5) Нулю: нет; Положительно: нет; Отрицательно: \( x \in R, x \ne 2 \). 6) Нулю: \( x=1 \); Положительно: \( x > 1 \); Отрицательно: \( x < 1, x \ne 0 \).