869. Найти производную функции.

Решение:

1. \( (2x^4 - x^3 + 3x + 4)' = 8x^3 - 3x^2 + 3 \)
2. \( (-x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1)' = -5x^4 + 6x^2 - 6x \)
3. \( (6\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2})' = (6x^{1/3} + x^{-2})' = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} - 2x^{-3} = 2x^{-2/3} - 2x^{-3} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3} \)
4. \( (\frac{2}{x^3} - 8\sqrt[4]{x})' = (2x^{-3} - 8x^{1/4})' = -6x^{-4} - 8 \cdot \frac{1}{4}x^{-3/4} = -6x^{-4} - 2x^{-3/4} = -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}} \)
5. \( ((2x + 3)^8)' = 8(2x+3)^7 \cdot 2 = 16(2x+3)^7 \)
6. \( ((4 - 3x)^7)' = 7(4-3x)^6 \cdot (-3) = -21(4-3x)^6 \)
7. \( (\sqrt[3]{3x-2})' = (3x-2)^{1/3}' = \frac{1}{3}(3x-2)^{-2/3} \cdot 3 = (3x-2)^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}} \)
8. \( (\frac{1}{\sqrt{1-4x}})' = ((1-4x)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(1-4x)^{-3/2} \cdot (-4) = 2(1-4x)^{-3/2} = \frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}} \)

Ответ: 1) \( 8x^3 - 3x^2 + 3 \); 2) \( -5x^4 + 6x^2 - 6x \); 3) \( \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3} \); 4) \( -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}} \); 5) \( 16(2x+3)^7 \); 6) \( -21(4-3x)^6 \); 7) \( \frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}} \); 8) \( \frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}} \).