8. Вычислите ∫_{-1}^{e} 1/x dx

Решение:

Интеграл \( \int_{-1}^{e} \frac{1}{x} dx \) является несобственным, так как функция \( f(x) = \frac{1}{x} \) имеет разрыв в точке \( x=0 \), которая попадает в отрезок интегрирования \( [-1, e] \).

Чтобы вычислить такой интеграл, необходимо разбить его на два:

\[ \int_{-1}^{e} \frac{1}{x} dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x} dx + \int_{0}^{e} \frac{1}{x} dx \]

Рассмотрим первый интеграл:

\[ \int_{-1}^{0} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to 0^-} \int_{-1}^{b} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to 0^-} [\ln|x|]_{-1}^b = \lim_{b \to 0^-} (\ln|b| - \ln|-1|) = \lim_{b \to 0^-} \ln|b| - \ln(1) = -\infty \]

Так как один из интегралов расходится (стремится к минус бесконечности), то и весь интеграл расходится.

Ответ: Интеграл расходится.