8. tg(x + π/4) + tg(x - π/4) = 2 ctg x.

Решение:

Используем формулы для тангенса суммы и разности:

\( \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{tg} x + 1}{1 - \operatorname{tg} x} \)

\( \operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 + \operatorname{tg} x} \)

Подставляем в уравнение:

\( \frac{\operatorname{tg} x + 1}{1 - \operatorname{tg} x} + \frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 + \operatorname{tg} x} = \frac{2}{\operatorname{tg} x} \)

Приведём к общему знаменателю левую часть:

\( \frac{(\operatorname{tg} x + 1)(1 + \operatorname{tg} x) + (\operatorname{tg} x - 1)(1 - \operatorname{tg} x)}{(1 - \operatorname{tg} x)(1 + \operatorname{tg} x)} = \frac{2}{\operatorname{tg} x} \)

\( \frac{(\operatorname{tg} x + 1)^2 - (\operatorname{tg} x - 1)^2}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = \frac{2}{\operatorname{tg} x} \)

\( \frac{(\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x + 1) - (\operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x + 1)}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = \frac{2}{\operatorname{tg} x} \)

\( \frac{4 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = \frac{2}{\operatorname{tg} x} \)

По формуле двойного угла для тангенса: \( \operatorname{tg}(2x) = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} \).

\( 2 \operatorname{tg}(2x) = \frac{2}{\operatorname{tg} x} \)

\( \operatorname{tg}(2x) = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \operatorname{ctg} x = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - x) \)

\( 2x = \frac{\pi}{2} - x + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \)

\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).