14. cos²x = cos 6x.

Решение:

Используем формулу \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).

\( \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \cos 6x \)

\( 1 + \cos(2x) = 2 \cos 6x \)

\( 2 \cos 6x - \cos(2x) = 1 \)

Это уравнение сложно решить аналитически без дополнительных преобразований или числовых методов.

Если предположить, что \( 6x \) и \( 2x \) связаны, можно попробовать разложить \( \cos 6x \) через \( \cos 2x \) (используя формулу \( \cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A \) с \( A = 2x \)).

\( \cos 6x = 4 \cos^3(2x) - 3 \cos(2x) \)

Подставим в уравнение:

\( 2(4 \cos^3(2x) - 3 \cos(2x)) - \cos(2x) = 1 \)

\( 8 \cos^3(2x) - 6 \cos(2x) - \cos(2x) = 1 \)

\( 8 \cos^3(2x) - 7 \cos(2x) - 1 = 0 \)

Пусть \( y = \cos(2x) \). Тогда кубическое уравнение:

\( 8y^3 - 7y - 1 = 0 \)

Попробуем найти целочисленные корни. Если \( y=1 \): \( 8 - 7 - 1 = 0 \). Значит, \( y=1 \) — корень.

\( \cos(2x) = 1 \)

\( 2x = 2 \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x = \pi k \).

Разделим многочлен \( 8y^3 - 7y - 1 \) на \( (y-1) \).

(8y³ - 7y - 1) : (y - 1) = 8y² + 8y + 1

Итак, \( (y-1)(8y^2 + 8y + 1) = 0 \).

Рассмотрим \( 8y^2 + 8y + 1 = 0 \).

Дискриминант \( D = 8^2 - 4 · 8 · 1 = 64 - 32 = 32 \).

\( y = \frac{-8 ± \sqrt{32}}{16} = \frac{-8 ± 4\sqrt{2}}{16} = \frac{-2 ± \sqrt{2}}{4} \).

\( \cos(2x) = \frac{-2 + \sqrt{2}}{4} \)

\( 2x = \pm \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{2}}{4}\right) + 2 \pi n \).

\( x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{2}}{4}\right) + \pi n \).

\( \cos(2x) = \frac{-2 - \sqrt{2}}{4} \)

\( 2x = \pm \arccos\left(\frac{-2 - \sqrt{2}}{4}\right) + 2 \pi m \).

\( x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{-2 - \sqrt{2}}{4}\right) + \pi m \).

Ответ: \( x = \pi k \), \( x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{-2 + \sqrt{2}}{4}\right) + \pi n \), \( x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{-2 - \sqrt{2}}{4}\right) + \pi m \), где \( k, n, m \in \mathbb{Z} \).