8). Решить неравенство: $$ \log_x \frac{3x+2}{4(1-x)} \ge 0 $$

Question

8). Решить неравенство: $$ \log_x \frac{3x+2}{4(1-x)} \ge 0 $$

$Фото задания: 8). Решить неравенство: $$ \log_x \frac{3x+2}{4(1-x)} \ge 0 $$$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо учесть два случая, зависящих от основания логарифма $ x $.

Условия существования:

Основание логарифма $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.
Аргумент логарифма $ \frac{3x+2}{4(1-x)} > 0 $.

Решим неравенство для аргумента:

$ \frac{3x+2}{4(1-x)} > 0 $ ⇒ $ \frac{3x+2}{1-x} > 0 $.

Метод интервалов для $ \frac{3x+2}{1-x} > 0 $:

Корни числителя: $ 3x+2 = 0 $ ⇒ $ x = -2/3 $
Корни знаменателя: $ 1-x = 0 $ ⇒ $ x = 1 $

Интервалы:

$ (-\infty, -2/3) $: $ \frac{-}{-} = + $
$ (-2/3, 1) $: $ \frac{+}{-} = - $
$ (1, +\infty) $: $ \frac{+}{+} = + $

Итак, $ \frac{3x+2}{1-x} > 0 $ при $ x \in (-\infty, -2/3) \cup (1, +\infty) $.

Учитывая условия $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $, область допустимых значений (ОДЗ) для $ x $ сужается до $ x \in (1, +\infty) $.

Теперь рассмотрим два случая для логарифмического неравенства:

Случай 1: Основание $ x > 1 $.

В этом случае логарифмическая функция возрастает, и неравенство $ \log_x \frac{3x+2}{4(1-x)} \ge 0 $ эквивалентно:

\[ \frac{3x+2}{4(1-x)} \ge x^0 \]

\[ \frac{3x+2}{4(1-x)} \ge 1 \]

\[ \frac{3x+2}{4(1-x)} - 1 \ge 0 \]

\[ \frac{3x+2 - 4(1-x)}{4(1-x)} \ge 0 \]

\[ \frac{3x+2 - 4 + 4x}{4(1-x)} \ge 0 \]

\[ \frac{7x-2}{4(1-x)} \ge 0 \]

Умножим на 4: $ \frac{7x-2}{1-x} \ge 0 $.

Решим это неравенство методом интервалов:

Корень числителя: $ 7x-2 = 0 $ ⇒ $ x = 2/7 $
Корень знаменателя: $ 1-x = 0 $ ⇒ $ x = 1 $

Интервалы:

$ (-\infty, 2/7) $: $ \frac{-}{-} = + $
$ (2/7, 1) $: $ \frac{+}{-} = - $
$ (1, +\infty) $: $ \frac{+}{+} = + $

Решение $ \frac{7x-2}{1-x} \ge 0 $ — $ x \in [2/7, 1) $.

Пересечём это решение с условием $ x > 1 $ (из случая 1). Пересечения нет.

Случай 2: Основание $ 0 < x < 1 $.

В этом случае логарифмическая функция убывает, и неравенство $ \log_x \frac{3x+2}{4(1-x)} \ge 0 $ эквивалентно:

\[ \frac{3x+2}{4(1-x)} \le x^0 \]

\[ \frac{3x+2}{4(1-x)} \le 1 \]

\[ \frac{3x+2}{4(1-x)} - 1 \le 0 \]

\[ \frac{7x-2}{4(1-x)} \le 0 \]

Умножим на 4: $ \frac{7x-2}{1-x} \le 0 $.

Решение этого неравенства: $ x \in (-\infty, 2/7] \cup (1, +\infty) $.

Пересечём это решение с условием $ 0 < x < 1 $ (из случая 2).

Пересечение: $ x \in (0, 2/7] $.

Теперь необходимо объединить решения из обоих случаев. Но так как в первом случае решений не нашлось, то итоговое решение — это решение второго случая.

Итоговое решение: $ x \in (0, 2/7] $.

Ответ: $ x \in (0, 2/7] $.