5). Решить уравнение: $$ \log_7 (x^2-2x-8) = 1 $$

Решение:

Для решения логарифмического уравнения, воспользуемся определением логарифма:

Если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

В нашем случае \( a=7 \), \( b=x^2-2x-8 \), \( c=1 \). Применим это к нашему уравнению:

\[ 7^1 = x^2-2x-8 \]

\[ 7 = x^2-2x-8 \]

Перенесём всё в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2-2x-8-7 = 0 \]

\[ x^2-2x-15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \), \( x_1 · x_2 = -15 \). Легко подобрать корни: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -3 \).

Проверим, чтобы аргумент логарифма был больше нуля:

Для \( x=5 \): \( 5^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 \).

Для \( x=-3 \): \( (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 \).

Оба корня подходят.

Ответ: \( x=5, x=-3 \).