4). Найти первообразную функции f(x) = 3x²-5, график которой проходит через точку (2; 10).

Решение:

Найдём общий вид первообразной для функции \( f(x) = 3x^2 - 5 \).

Первообразная \( F(x) \) находится интегрированием:

\[ F(x) = \int (3x^2 - 5) dx = 3 \int x^2 dx - \int 5 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 5x + C = x^3 - 5x + C \]

где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь воспользуемся условием, что график первообразной проходит через точку \( (2; 10) \). Подставим \( x=2 \) и \( F(x)=10 \):

\[ 10 = (2)^3 - 5(2) + C \]

\[ 10 = 8 - 10 + C \]

\[ 10 = -2 + C \]

\[ C = 10 + 2 = 12 \]

Таким образом, искомая первообразная:

\[ F(x) = x^3 - 5x + 12 \]

Ответ: \( F(x) = x^3 - 5x + 12 \).