7). Решить уравнение: $$ \sqrt{2x^2-5x+1} = \sqrt{x^2-2x-1} $$

Решение:

Для решения уравнения с корнями, сначала возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ (\sqrt{2x^2-5x+1})^2 = (\sqrt{x^2-2x-1})^2 \]

\[ 2x^2-5x+1 = x^2-2x-1 \]

Перенесём все члены в одну часть:

\[ 2x^2 - x^2 - 5x + 2x + 1 + 1 = 0 \]

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = 3 \]

\[ x_1 \cdot x_2 = 2 \]

Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 2 \).

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условиям существования корней (подкоренные выражения должны быть неотрицательны):

Проверка для \( x=1 \):

Первое выражение: \( 2(1)^2 - 5(1) + 1 = 2 - 5 + 1 = -2 \). Так как \( -2 < 0 \), то \( x=1 \) не является корнем уравнения.

Проверка для \( x=2 \):

Первое выражение: \( 2(2)^2 - 5(2) + 1 = 2(4) - 10 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1 \). Так как \( -1 < 0 \), то \( x=2 \) не является корнем уравнения.

В данном случае, оба найденных корня не подходят, так как приводят к отрицательным значениям под корнем. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: нет решений.