6). Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: $$ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1 \text{ на } [-1; 2] $$

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно найти значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: \( y' = (2x^3 + 3x^2 - 12x - 1)' = 6x^2 + 6x - 12 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \). Разделим на 6: \( x^2 + x - 2 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \).
4. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок \( [-1; 2] \). \( x_1 = 1 \) попадает в отрезок. \( x_2 = -2 \) не попадает в отрезок.
5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в попадающей критической точке:
• При \( x = -1 \): \( y = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) - 1 = -2 + 3 + 12 - 1 = 12 \).
• При \( x = 1 \): \( y = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = -8 \).
• При \( x = 2 \): \( y = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) - 1 = 2(8) + 3(4) - 24 - 1 = 16 + 12 - 24 - 1 = 3 \).
6. Сравним полученные значения: 12, -8, 3.

Наибольшее значение функции равно 12.

Наименьшее значение функции равно -8.

Ответ: Наибольшее значение \( y_{наиб} = 12 \), наименьшее значение \( y_{наим} = -8 \).