797. Пользуясь тем, что 2,6 < √7 < 2,7 и 2,2 < √5 < 2,3, оцените значение выражения: а) √7 + √5; б) √7 - √5; в) √35.

Решение:

Дано: \( 2,6 < √{7} < 2,7 \) и \( 2,2 < √{5} < 2,3 \).

Оценить значения выражений.

а) \( √{7} + √{5} \)

1. Сложим левые части неравенств: \( 2,6 + 2,2 = 4,8 \).
2. Сложим правые части неравенств: \( 2,7 + 2,3 = 5,0 \).
3. Следовательно, \( 4,8 < √{7} + √{5} < 5,0 \).

б) \( √{7} - √{5} \)

1. Вычтем правую часть второго неравенства из левой части первого: \( 2,6 - 2,3 = 0,3 \).
2. Вычтем левую часть второго неравенства из правой части первого: \( 2,7 - 2,2 = 0,5 \).
3. Следовательно, \( 0,3 < √{7} - √{5} < 0,5 \).

в) \( √{35} \)

Заметим, что \( 35 = 7 · 5 \), поэтому \( √{35} = √{7} · √{5} \).

1. Оценим произведение \( √{7} · √{5} \).
2. Умножим левые части неравенств: \( 2,6 · 2,2 = 5,72 \).
3. Умножим правые части неравенств: \( 2,7 · 2,3 = 6,21 \).
4. Следовательно, \( 5,72 < √{35} < 6,21 \).

Ответ: а) \( 4,8 < √{7} + √{5} < 5,0 \); б) \( 0,3 < √{7} - √{5} < 0,5 \); в) \( 5,72 < √{35} < 6,21 \).