795. В геометрической прогрессии (bn), знаменатель которой положителен, b₁ · b₂ = 1/27, а b₃ · b₄ = 3. Найдите сумму первых трёх членов этой прогрессии.

Решение:

Дано: геометрическая прогрессия \( (b_n) \), \( q > 0 \).

\( b_1 · b_2 = \frac{1}{27} \)

\( b_3 · b_4 = 3 \)

Найти: \( S_3 = b_1 + b_2 + b_3 \).

1. Запишем условия через \( b_1 \) и \( q \):
2. \( b_1 · (b_1q) = b_1^2 q = \frac{1}{27} \)
3. \( (b_1q^2) · (b_1q^3) = b_1^2 q^5 = 3 \)
4. Разделим второе уравнение на первое:
5. \( \frac{b_1^2 q^5}{b_1^2 q} = \frac{3}{1/27} \)
6. \( q^4 = 3 · 27 = 81 \).
7. Так как \( q > 0 \), то \( q = ∛{81} = 3 \).
8. Подставим \( q = 3 \) в первое уравнение:
9. \( b_1^2 · 3 = \frac{1}{27} \)
10. \( b_1^2 = \frac{1}{27 · 3} = \frac{1}{81} \).
11. Так как все члены прогрессии положительны (из \( b_1^2 q = 1/27 \) и \( q>0 \) следует \( b_1^2 > 0 \), а \( b_3 · b_4 = 3 \) означает, что \( b_1 \) и \( q \) имеют одинаковый знак, а \( q>0 \), то \( b_1>0 \)), то \( b_1 = \frac{1}{9} \).
12. Найдем \( b_2 \) и \( b_3 \):
13. \( b_2 = b_1q = \frac{1}{9} · 3 = \frac{1}{3} \).
14. \( b_3 = b_2q = \frac{1}{3} · 3 = 1 \).
15. Найдем сумму первых трёх членов:
16. \( S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1+3+9}{9} = \frac{13}{9} \).

Ответ: \( \frac{13}{9} \).