793. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bn), если известно, что все члены последовательности положительны и b₃ = 20, а b₅ = 80.

Решение:

Дано: геометрическая прогрессия.

Все члены положительны.

\( b_3 = 20 \), \( b_5 = 80 \).

Найти: \( S_7 \).

1. Найдем знаменатель прогрессии \( q \).
2. \( b_5 = b_3 · q^{5-3} \)
3. \( 80 = 20 · q^2 \)
4. \( q^2 = \frac{80}{20} = 4 \).
5. Так как все члены положительны, то \( q = 2 \).
6. Найдем первый член прогрессии \( b_1 \).
7. \( b_3 = b_1 · q^{3-1} \)
8. \( 20 = b_1 · 2^2 \)
9. \( 20 = b_1 · 4 \)
10. \( b_1 = \frac{20}{4} = 5 \).
11. Найдем сумму первых семи членов прогрессии.
12. \( S_7 = \frac{b_1(q^7-1)}{q-1} \)
13. \( S_7 = \frac{5(2^7-1)}{2-1} \)
14. \( S_7 = 5(128-1) \)
15. \( S_7 = 5 · 127 \)
16. \( S_7 = 635 \).

Ответ: 635.