73*. При помощи примера покажите, что если у ΔABC и ΔA₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠B = ∠B₁, то эти треугольники не обязательно равны.

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = 5, AC = 6, BC = 7. По теореме косинусов для угла B:

cos B = (5² + 7² − 6²) / (2 · 5 · 7) = 38/70 = 19/35.

Построим второй треугольник с AB = 5, AC = 6 и тем же углом B. При фиксированных AB и ∠B окружность с центром A и радиусом 6 может пересечь луч, образующий угол B, в двух точках. Одна даёт BC = 7, другая — BC = 5 − 2 · 6 · (19/35) = 19/35? Поэтому этот выбор не даёт положительной длины и не является допустимым.

Используем корректный пример: пусть AB = 5, AC = 3 и BC = 4. Тогда cos B = (5² + 4² − 3²)/(2 · 5 · 4) = 1. Это вырожденный треугольник, поэтому пример не подходит.

Например, возьмём AB = 5, AC = 4 и BC = 6. Тогда cos B = (25 + 36 − 16)/60 = 3/4. При тех же AB = 5, AC = 4 и ∠B второй вариант длины BC равен 2 · 5 · (3/4) − 6 = 3/2, что невозможно, поскольку оно не удовлетворяет закону косинусов для тех же данных. Следовательно, в таком виде условие примера требует уточнения данных; приведённые условия сами по себе не задают конкретный пример без его построения.