6. В окружности с центром в точке О, хорды KL и MN параллельны, а хорда КМ является диаметром. а) Докажите, что KLMN — прямоугольник. б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если известно, что ∠MKL = 25°.

а) Так как КМ - диаметр, то углы ∠KLM и ∠KNM, опирающиеся на диаметр, равны 90°. Так как KL || MN, то дуга KN = дуга LM. Следовательно, хорды KN = LM. Четырёхугольник KLMN имеет два прямых угла и противоположные стороны равны, следовательно, он является прямоугольником.
б) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. В треугольнике MKL, ∠MLK = 90°, ∠MKL = 25°, следовательно, ∠KM L = 90° - 25° = 65°. Так как KM - диаметр, то OK = OL = OM = ON = радиус. В треугольнике OKL, OK = OL, следовательно, он равнобедренный. Угол между диагоналями можно найти, рассмотрев треугольник, образованный диагоналями. Например, в треугольнике KFM, где F - точка пересечения диагоналей. Угол между диагоналями равен 2 * ∠MKL = 2 * 25° = 50° или 180° - 50° = 130°. Меньший угол равен 50°.