2. В окружность вписан четырёхугольник KLMN, дуги KL, LM, MN и NK которого относятся как 10:2:3:3 соответственно. Найдите угол между продолжениями сторон KL и MN.

Решение:

Пусть дуги KL, LM, MN, NK равны \( 10x, 2x, 3x, 3x \) соответственно. Сумма всех дуг в окружности составляет \( 360° \).

\( 10x + 2x + 3x + 3x = 360° \)

\( 18x = 360° \)

\( x = \frac{360°}{18} = 20° \)

Теперь найдём величины дуг:

• Дуга KL = \( 10x = 10 · 20° = 200° \)
• Дуга LM = \( 2x = 2 · 20° = 40° \)
• Дуга MN = \( 3x = 3 · 20° = 60° \)
• Дуга NK = \( 3x = 3 · 20° = 60° \)

Угол между продолжениями сторон KL и MN (угол E) можно найти по формуле:

\( E = \frac{1}{2} ( \text{дуга M N K} - \text{дуга L M} ) \)

Дуга MNK = Дуга MN + Дуга NK = \( 60° + 60° = 120° \).

Дуга LM = \( 40° \).

\( E = \frac{1}{2} ( 120° - 40° ) = \frac{1}{2} · 80° = 40° \)

Ответ: 40°.