6. Упростите выражение: $$\frac{10 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+1} + 2^{n-1}}$$.

Задание 6. Упрощение выражения

Чтобы упростить данное выражение, нужно привести степени к одному основанию и использовать свойства степеней.

Выражение: \( \frac{10 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+1} + 2^{n-1}} \)

В числителе имеем \( 10 \cdot 2^{n+1} \).

В знаменателе имеем сумму \( 2^{n+1} + 2^{n-1} \). Вынесем общий множитель за скобки. Наименьшая степень \( 2^{n-1} \).

\( 2^{n+1} = 2^{(n-1) + 2} = 2^{n-1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{n-1} \)

Теперь подставим это в знаменатель:

\( 2^{n+1} + 2^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} + 1 \cdot 2^{n-1} = (4+1) \cdot 2^{n-1} = 5 \cdot 2^{n-1} \)

Теперь подставим упрощённый знаменатель обратно в исходное выражение:

\( \frac{10 \cdot 2^{n+1}}{5 \cdot 2^{n-1}} \)

Разделим коэффициенты и степени:

\( \frac{10}{5} \cdot \frac{2^{n+1}}{2^{n-1}} = 2 \cdot 2^{(n+1) - (n-1)} \)

Вычислим показатель степени:

\( (n+1) - (n-1) = n+1-n+1 = 2 \)

Теперь подставим обратно:

\( 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8 \)

Ответ: \( 8 \)