6. Окружность с центром О описана около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что треугольники АВО, ВСО и АСО равны.

Доказательство:

1. Равносторонний треугольник: В равностороннем треугольнике все стороны равны ($$AB = BC = AC$$) и все углы равны $$60^\circ$$.
2. Центр описанной окружности: В равностороннем треугольнике центр описанной окружности (О) совпадает с центром вписанной окружности, точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.
3. Радиусы окружности: Отрезки OA, OB и OC являются радиусами описанной окружности, поэтому $$OA = OB = OC$$.
4. Сравнение треугольников: Рассмотрим треугольники АВО, ВСО и АСО:
   • Стороны:
     • $$AB = BC = AC$$ (стороны равностороннего треугольника).
     • $$OA = OB = OC$$ (радиусы описанной окружности).
   • Признак равенства по трем сторонам (ССС):
     • В треугольниках АВО и ВСО: $$AB = BC$$, $$OA = OB$$, $$OC = OC$$ (общая сторона). Следовательно, $$\triangle ABO = \triangle CBO$$ по трем сторонам.
     • В треугольниках ВСО и АСО: $$BC = AC$$, $$OB = OC$$, $$OA = OA$$ (общая сторона). Следовательно, $$\triangle CBO = \triangle ACO$$ по трем сторонам.
5. Вывод: Так как $$\triangle ABO = \triangle CBO$$ и $$\triangle CBO = \triangle ACO$$, то все три треугольника равны: $$\triangle ABO = \triangle CBO = \triangle ACO$$.