1. Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 10 см.

Решение:

1. Построение: Обозначим точки касания как А и В. Треугольники ОАМ и ОВМ являются прямоугольными (так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
2. Применение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике ОАМ, ОА = 5 см (радиус), ОМ = 10 см. По теореме Пифагора: $$AM^2 = OM^2 - OA^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$$. Следовательно, $$AM = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$ см.
3. Нахождение угла: В прямоугольном треугольнике ОАМ, $$\sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OM} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Отсюда $$\angle AOM = 60^\circ$$.
4. Угол между касательными: Угол между касательными равен $$2 \cdot \angle AOM = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$.

Ответ: 120°