6. №6 Вычислить площадь (первый график):

Решение:

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = -x^2 + 1 \) и осью \( Ox \) в пределах от \( x = -1 \) до \( x = 1 \).

Площадь вычисляется как интеграл от функции \( y = -x^2 + 1 \) по отрезку \( [-1, 1] \).

\( S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx \)

Интегрируем:

\( \int (-x^2 + 1) dx = -\frac{x^3}{3} + x \)

Применяем пределы интегрирования:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} \)

\( S = (- \frac{1^3}{3} + 1) - (- \frac{(-1)^3}{3} + (-1)) \)

\( S = (- \frac{1}{3} + 1) - (- \frac{-1}{3} - 1) \)

\( S = (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{3}) \)

\( S = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \)

Ответ: \( \frac{4}{3} \).