2. №2 Вычислить площадь (первый график):

Решение:

Найдём площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = \frac{4}{x} \), осью \( Ox \) и вертикальными прямыми \( x = 1 \) и \( x = 4 \).

Площадь вычисляется как интеграл от функции \( y = \frac{4}{x} \) по отрезку \( [1, 4] \).

\( S = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} dx \)

Интегрируем:

\( \int \frac{4}{x} dx = 4 \ln|x| \)

Применяем пределы интегрирования:

\( S = \left[ 4 \ln|x| \right]_{1}^{4} = 4 \ln(4) - 4 \ln(1) = 4 \ln(4) - 4 \cdot 0 = 4 \ln(4) \)

Используя свойство логарифмов \( a \ln(b) = \ln(b^a) \), получаем:

\( S = \ln(4^4) = \ln(256) \)

Ответ: \( 4 \ln(4) \) или \( \ln(256) \).