2. №2 Вычислить площадь (второй график):

Решение:

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = -x^2 + 5 \) и прямой \( y = x + 3 \).

Сначала найдём точки пересечения графиков, приравняв уравнения:

\( -x^2 + 5 = x + 3 \)

\( -x^2 - x + 2 = 0 \)

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \).

Площадь вычисляется как интеграл разности верхней функции (парабола) и нижней функции (прямая) по отрезку \( [-2, 1] \).

\( S = \int_{-2}^{1} ((-x^2 + 5) - (x + 3)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \)

Интегрируем:

\( \int (-x^2 - x + 2) dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \)

Применяем пределы интегрирования:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \)

\( S = (- \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1) - (- \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)) \)

\( S = (- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (- \frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4) \)

\( S = (- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) \)

\( S = (- \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6}) - (\frac{8}{3} - 6) \)

\( S = \frac{7}{6} - (\frac{8}{3} - \frac{18}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \)

Ответ: \( \frac{9}{2} \).