3. №3 Вычислить площадь (первый график):

Решение:

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 - 4 \) и осью \( Ox \).

Сначала найдём точки пересечения параболы с осью \( Ox \), приравняв \( y = 0 \):

\( x^2 - 4 = 0 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \).

Таким образом, пределы интегрирования — от \( -2 \) до \( 2 \).

Поскольку парабола \( y = x^2 - 4 \) ниже оси \( Ox \) на этом интервале, площадь вычисляется как интеграл от \( -y \), или как отрицательный интеграл от \( y \).

\( S = -\int_{-2}^{2} (x^2 - 4) dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \)

Интегрируем:

\( \int (4 - x^2) dx = 4x - \frac{x^3}{3} \)

Применяем пределы интегрирования:

\( S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \)

\( S = (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}) \)

\( S = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 - \frac{-8}{3}) \)

\( S = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) \)

\( S = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: \( \frac{32}{3} \).