3. №3 Вычислить площадь (второй график):

Решение:

Найдём площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = -x^2 + x \) и \( y = -x^2 + 3x \).

Сначала найдём точки пересечения графиков, приравняв уравнения:

\( -x^2 + x = -x^2 + 3x \)

\( x = 3x \)

\( 2x = 0 \)

\( x = 0 \).

Однако, на графике видно, что пересечение происходит и в другой точке. Это может означать, что одна из кривых является верхней, а другая — нижней, и их пересечение не ограничивает площадь, а лишь задает точку, где их наклон одинаков, либо на рисунке изображены не только эти кривые, а еще какие-то линии, ограничивающие площадь. Судя по виду графика, похоже, что площадь ограничена кривыми \( y = -x^2+x \) (верхняя) и \( y = -x^2+3x \) (нижняя), и осью \( Ox \) или другими линиями, которые не явно указаны. На рисунке заштрихована область между двумя параболами, пересекающимися в точке \( x=0 \). Верхняя кривая \( y=-x^2+x \) имеет максимум при \( x=0.5 \), а \( y=-x^2+3x \) при \( x=1.5 \).

Если предположить, что площадь ограничена этими двумя параболами, и пересечение происходит при \( x=0 \) и \( x=2 \) (поскольку \( -x^2+x = -x^2+3x \) => \( x=3x \) => \( 2x=0 \) => \( x=0 \), что не соответствует графику), возможно, одно из уравнений ошибочно или это другой тип задачи.

Пересмотрим рисунок: на графике указано \( y=-x^2+x \) и \( y=-x^2+3x \). На рисунке заштрихована область между ними, от \( x=0 \) до \( x=2 \). Это возможно, если эти кривые пересекаются в \( x=0 \) и \( x=2 \). Проверим:

При \( x=2 \): \( y = -(2^2) + 2 = -4+2 = -2 \) для первой кривой.

При \( x=2 \): \( y = -(2^2) + 3(2) = -4+6 = 2 \) для второй кривой.

Они не пересекаются в \( x=2 \).

Есть предположение, что на рисунке для \( y=-x^2+3x \) должны быть другие пределы или это другая кривая. Если предположить, что пределы интегрирования \( 0 \) и \( 2 \) верны, а \( y=-x^2+3x \) это верхняя граница, а \( y=-x^2+x \) нижняя, то:

\( S = \int_{0}^{2} ((-x^2+3x) - (-x^2+x)) dx = \int_{0}^{2} (2x) dx \)

\( S = \left[ x^2 \right]_{0}^{2} = 2^2 - 0^2 = 4 \).

Однако, это не совпадает с визуальной площадью.

Исходя из видимых на графике линий, скорее всего, площадь ограничена кривыми \( y=-x^2+x \) и \( y=-x^2+3x \) в интервале от \( x=0 \) до \( x=2 \) (судя по обозначениям на оси X, где есть 0, 1, 2), и \( y=-x^2+3x \) находится выше \( y=-x^2+x \).

\( S = \int_{0}^{2} ((-x^2+3x) - (-x^2+x)) dx = \int_{0}^{2} (2x) dx \)

\( S = [x^2]_{0}^{2} = 2^2 - 0^2 = 4 \)

Ответ: \( 4 \).