521. Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше: 1) длины хорды AB; 2) радиуса окружности.

Решение:

Пусть \( d \) — расстояние от центра O до хорды AB, \( h = \frac{1}{2}AB \) — половина длины хорды AB, \( R \) — радиус окружности (OA = OB = R).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды. В этом треугольнике гипотенуза — радиус R, катеты — \( d \) и \( h \).

По теореме Пифагора: \( R^2 = d^2 + h^2 \).

Центральный угол \( \breve{AOB} \) равен \( 2 \times \breve{AOM} \), где \( \breve{AOM} \) — угол в прямоугольном треугольнике.

1) Расстояние от центра O до хорды AB в 2 раза меньше длины хорды AB.

По условию, \( d = \frac{1}{2}AB \). Так как \( h = \frac{1}{2}AB \), то \( d = h \).

Подставим в теорему Пифагора:

\( R^2 = d^2 + d^2 = 2d^2 \)

\( R = d2 \) (так как R и d положительны).

В прямоугольном треугольнике, где катеты равны, угол равен 45°.

\( \tan(\breve{AOM}) = \frac{h}{d} = \frac{d}{d} = 1 \)

\( \breve{AOM} = 45° \).

Угол между радиусами \( \breve{AOB} = 2 \times \breve{AOM} = 2 \times 45° = 90° \).

2) Расстояние от центра O до хорды AB в 2 раза меньше радиуса окружности.

По условию, \( d = \frac{1}{2}R \).

Подставим в теорему Пифагора: \( R^2 = d^2 + h^2 \)

\( R^2 = (\frac{1}{2}R)^2 + h^2 \)

\( R^2 = \frac{1}{4}R^2 + h^2 \)

\( h^2 = R^2 - \frac{1}{4}R^2 = \frac{3}{4}R^2 \)

\( h = \frac{\sqrt{3}}{2}R \).

Теперь найдем угол \( \breve{AOM} \):

\( \text{cos}(\breve{AOM}) = \frac{d}{R} = \frac{\frac{1}{2}R}{R} = \frac{1}{2} \)

\( \breve{AOM} = 60° \).

Угол между радиусами \( \breve{AOB} = 2 \times \breve{AOM} = 2 \times 60° = 120° \).

Ответ: 1) 90°; 2) 120°.