519. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

Решение:

Рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Диаметр окружности равен D = 2R.

Пусть AB — произвольная хорда окружности, отличная от диаметра. Это означает, что хорда AB не проходит через центр окружности O.

Рассмотрим треугольник ΔOAB, где O — центр окружности, а A и B — концы хорды.

1. Стороны OA и OB являются радиусами окружности, поэтому OA = OB = R.
2. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Применим это неравенство к треугольнику ΔOAB:
   \( OA + OB > AB \)
3. Подставим значения OA и OB: \( R + R > AB \)
4. \( 2R > AB \)
5. Так как \( D = 2R \), то \( D > AB \).
   Это означает, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

Доказано.