515. Прямая CD касается окружности с центром O в точке А, отрезок AB — хорда окружности, ∠BAD = 35° (рис. 297). Найдите ∠AOB.

Решение:

По условию, прямая CD является касательной к окружности с центром O в точке A. AB — хорда окружности.

По теореме о касательной и хорде, угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между сторонами этого угла.

Таким образом, угол ∠BAD = 35° равен половине дуги AB (обозначим дугу как \( \breve{AB} \)).

\( \frac{1}{2} \breve{AB} = \breve{CAD} \)

\( \breve{CAD} = 35° \)

\( \breve{AB} = 2 \times 35° = 70° \)

Угол ∠AOB является центральным углом, опирающимся на дугу AB. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.

\( \breve{AB} = 70° \)

Следовательно, \( \breve{AOB} = 70° \).

Ответ: ∠AOB = 70°.