513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Решение:

Пусть в окружности с центром O хорды AB и CD равноудалены от центра. Это означает, что длины перпендикуляров, опущенных из центра на хорды, равны. Пусть OM ⊥ AB и ON ⊥ CD, причем OM = ON.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔOMA и ΔONC:

1. AO = CO (радиусы окружности).
2. OM = ON (по условию, хорды равноудалены от центра).
3. Следовательно, прямоугольные треугольники ΔOMA и ΔONC равны по гипотенузе и катету.
4. Из равенства треугольников следует, что AM = CN.
5. Так как OM и ON — перпендикуляры к хордам, они делят хорды пополам. Следовательно, AB = 2 * AM и CD = 2 * CN.
6. Поскольку AM = CN, то 2 * AM = 2 * CN, что означает AB = CD.
   Таким образом, если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Доказано.